越来越多的文献研究利用儿童的“误解”来诊断他们的思维并进行针对性的干预。在为这方面的文献做贡献的同时,本文关注的是教育工作者做出的选择,并提请人们注意儿童犯错的一个鲜为人知的好处——错误可以揭示值得保留的优点,而不仅仅是需要改正的缺点。通过两个孩子的故事,这篇文章展示了错误的答案如何揭示孩子对数学结构的关注(NGA & CCSSO 2010)。它还研究了幼儿如何使用语言模式来表达数学意义。
孩子的错误——纠正还是不纠正?
小孩子善于概括他们所收集到的信息。例如,他们很快就能找到加法的模式年代使复数:使名词变为复数;但是这个正确的结论也会产生错误,比如说“foots”而不是“feet”。类似的情况在数学中也经常出现,这些错误不仅可以揭示学生不知道什么,还可以揭示他们不知道什么做知道。因此,教师可以利用儿童的能力和倾向来概括和发现模式,作为教学中的盟友。
一般来说,干预最有用的地方——增加挑战、纠正错误或呼吁反思——是目前孩子智力增长最快的地方。孩子在哪里工作孩子的注意力就在那里。错误帮助我们注意到这个地方,因为当孩子进入新的智力领域并积极地建立新想法时,错误是很常见的。错误的模式有时揭示了孩子建造的正确结构,但被错误地应用了——这些结构被保留了下来。其他时候,它们揭示了用正确的原理构建的不正确结构。
当然,有些错误只是一时的疏忽,说明不了什么,只是一时的疏忽。我们应该纠正他们吗?那得看情况。如果他们对孩子隐藏了一个数学模式,纠正他们就消除了一个障碍。或者,如果一个特定的孩子比同龄的大多数孩子更频繁地出现这种小失误,那么这个孩子可能需要帮助来引导注意力,控制冲动(也许只是放慢速度),或者重新审视。但在很多情况下,小失误是值得忽略的。把注意力集中在错误上可能会分散注意力,把注意力从孩子真正在做的事情上转移开,妨碍他们建立和使用更先进的想法和结构。在这种情况下,对孩子正确的部分进行肯定和改进会更有用。
作为教育工作者,我们并不总是确切地知道孩子的智力焦点在哪里,以及何时进行干预。像所有的交流一样,教学是复杂的。幸运的是,孩子们的学习能力很强,大部分都很有弹性,所以老师可以犯错,但学生仍然能学得很好。
鲁斯:注意结构,但是发明了不正确的结构
在幼儿园的最后一年,孩子们学习加法和减法,孩子们都为一个经常来访的人制作小的感谢卡。Seth(上)画了一个蓝色的正方形,上面粘着一个红色的棒棒糖,这是他对一个奇妙的逻辑谜题的代表。许多孩子的卡片上全是算术就像他们这一年一直在做的那样,加入了一些艺术元素,而且经常有令人惊讶的延伸,他们觉得特别好。Sara(中)添加了一颗爱心。
6岁的露丝(下)制作了这张引人注目的卡片,突出显示了数学句子5 x 5 = 25。这个班没有学习乘法,但孩子们学会了零散的知识,并喜欢展示他们知道的东西。露丝可能还不知道5 x 5 = 25是什么意思,但展示这样一个成熟的东西很有趣。
露丝的卡片是彩虹般的颜色,为她精心书写的5 x 5 = 25留出了空间。顶部有一个复杂的图案。卡片已经满了,没有空间再放了,但就在5 x 5 = 25上面,她又塞了6 x 6 = 26,这似乎是事后的想法,也可能是一时冲动的想法。
多么完美啊!如果五个次五个是20 -五个,然后六个次六个一定是二十岁——六个.
这当然是错误的,但我们知道露丝的注意力在结构,而不是基于随机的事实。尽管她使用的结构是“错误的”(语言上的,而不是数学上的),但这证明了一个关于数学的基本正确观点:她没有把6 × 6当作另一个需要记住的东西,就像她记住别人的名字和星期几那样,而是把它当作她可以记住的东西算出.她计算的方法并不是基于乘法的意义——我们很难指望一个幼儿园的孩子能做到这一点——但这表明她认为数学是非任意的,是可以计算出来的,而且应该是有意义的。
注意到露丝的错误后,她的老师会怎么做?有三种合理的选择:(1)告诉露丝6 × 6 = 36,(2)告诉她5 × 5是什么意思,(3)忽略它——毕竟,这是一幅画,不是数学测验。忽略它似乎是无害的。露丝当然不会需要现在纠正;她在幼儿园没有学乘法。我们不必担心,如果没有纠正,露丝可能会记住6 x 6 = 26;如果事实是那么容易记住,我们都会欣喜若狂!也许告诉她正确答案是36也无伤大雅。露丝显然是一个思想家,所以她可能会在新数据中寻找一种模式,并得出这样的结论五个次五个是20 -五个,如果六个次六个30 -六个,那么也许七个次七个是40 -七个.如果她这样做了,那将是另一个错误,但不会比第一个更有害。这也是Ruth寻求结构并(错误地)概括它的另一个例子。
这是修正的负面影响。没有基础来理解乘法,告诉露丝正确答案是36只是给她另一个随机的事实。这对她理解乘法没有帮助,而且可能会损害她对数学的整体理解。露丝试图让数学变得有意义。如果她被告知"不,答案错误"没有知识和逻辑去理解为什么她可能会改变自己对数学的看法,认为它是任意的。露丝认为数学是关于寻找模式和结构的,即使她有限的知识会让她得到一个虚假的模式或错误的结构。这就是正确的对数学的认知,我们不想改变它。总有一天,露丝会理解乘法的意义,并利用她的理解得出6 × 6的更好结果。
把注意力集中在错误上可能会分散注意力,使孩子的注意力从真正在做的事情上转移开。
让露丝看看5 × 5的意思怎么样?老师不用对她的错误进行评论,只要一边放骰子一边说:“真酷!你跟我们说过五五!这是5,现在是2次,现在是3次,现在是4次,现在是5次。25 !
老师可以就此打住,不教乘法。骰子会让露丝看到她的想法是什么,使用一个熟悉的5的图像和一个她能数的量。露丝可能会跟进,也可能不会。她可能会自己尝试。她还没有“学习乘法”(她会数数或加法),但她可以为她已经知道的事实赋予新的意义。如果她不跟进,就不会浪费时间,她也不会因为发现模式的错误结果而受到批评,也不会被逼出自己的兴趣范围。
那么,老师什么时候应该确保孩子们知道正确答案呢?什么时候对孩子来说更重要的是关注模式和逻辑,即使结果并不准确?这取决于孩子的注意力在哪里——孩子活跃的地方工作.如果露丝的错误与她正在快速成长的加法和减法概念有关,那么确定这个错误是系统性的还是偶然的失误就很重要了。如果是系统性的,她的老师可能会干预。如果只是一个错误,那么让Ruth检查两个结果(一个正确,一个错误),看看她是否能自己发现并修复错误可能就足够了。不过,修正是一种选择;我们可能会决定把露丝的时间花在其他事情上更好。
语言模式,数学学习
露丝发明的6 × 6 = 26说明了一个关于幼儿数学学习的有用真理。这与他们的学习有关口语语言。
孩子们——尤其是小孩子——是语言学习的超级英雄,许多孩子在五岁前就学会了1万个或更多的词汇,并且几乎完全掌握了语言结构(语法)在他们上幼儿园之前学习他们的语言。这是一个事实,即使他们的错误揭示:他们会说“我出去了”,通过应用他们自己概括的正确规则发明了一个不正确的词。他们还积极地构建许多其他类型的结构,包括类别(大象和猫不同于椅子和桌子)和子类别(他们觉得宠物大象的概念很有趣,但不知道宠物椅子是什么)。他们喜欢数东西和比较大小。孩子们的经历充满了几乎恒定的新鲜感,他们正在迅速地建立新的结构来组织这些体验。
孩子们应用他们已经建立的结构,比如他们的口语结构,来帮助整理新的想法,比如数学或写作。给你一个口头和非口头体验数学的机会在写作方面,他们利用自己在寻找语言结构方面的专长作为数学学习的基础。例如,小孩子很容易把六、七、八和六十、七十、八十联系起来,并学会了模式(如果还不知道意义的话)。他们还将这种模式与数字名称联系起来,如61、71、81等。
数学教学可以利用数字口语对数学学习的强大支持这一事实,特别是在低年级,并且可以暴露幼儿的数学能力,当主要通过写作来学习时,这些能力仍然被隐藏。最近与另一个幼儿园班级的讨论提供了一个很好的例子。为了探究孩子们的想法,其中一位作者要求他们说出他们能想到的最大的数字。大多数人说的是“100”或“100万”。没人说过"两个百"或"七个几百万。”但当我们问他们认为两百加三百等于多少时,几乎所有人都欣然回答五百。为了更好地理解他们的回答,我们问了另一个问题:“你认为一百加一百是多少?”这个问题看起来比较简单,但对孩子们来说却是一个难题。虽然有些人说是200,但也有几个人给出了其他答案,比如“100”、“100万”和“我不知道”,尽管就在几分钟前,他们还正确地加了500 !
当我们弄清楚他们聪明、活跃的头脑里到底在想什么时,这种矛盾就消失了。那个说“一百加一百是一百”的孩子,把一百理解成了“大数字”。鉴于此,他的说法是完全正确的:一个大数字加上一个大数字是一个大数字!回答“一百万”的孩子是在说一个大数字加上一个大数字是一个更大的数字。相比之下,两百加三百是一种语言行为,孩子们运用了他们的2 + 3知识。(这让我们想起一个孩子,当被问到八分之五加八分之五等于多少时,他自信地回答:“十个ayf !什么是ayf ?)虽然100只是“大数字”的意思,但孩子们处理“两百加三百”的方式就像他们处理“两只山羊加三只山羊”一样。的numbernessOf hundred并没有真正使用;大多数孩子似乎对这个量只有一个模糊的概念,甚至可能不完全确定它是一个具体的数字。(同样,在一年级或二年级,许多知道8的一半是4的孩子自信地断言,800万的一半是400万,80的一半是40,如果这些都是的话口语计算。对于这些数字,孩子们可能还没有一个坚实的数学概念——就此而言,很少有成年人能清楚地知道一百万究竟有多大——但这是一种收入口头以这种方式处理大数的感觉有助于孩子们日后将其结构和符号形式化。)
虽然幼儿园的孩子们对一百万这个数字几乎没有概念,但露丝和她的同学们在数数方面积累了很多经验,他们在最初对数数单词的模糊含义上投入了精确性。他们使用的数词和他们的经历建筑从10s衍生出来的数字100至少赋予了这些数字和加法部分的意义。重要的是,他们开始使用的语言模式为他们的计数提供了一个结构。语言和数学意义相互支持,共同发展。
路得的“6 x 6 26”来自一种(错误的)语言模式的使用;但她和她的同学们对数字名称的语言模式以及他们获得的经验给予了关注使用那种语境中的语言,允许他们做理解能力和自信-很多在幼儿园不常见的数学知识。(更多关于数学思维习惯与语言的关系,见Goldenberg, Shteingold, & Feurzeig 2003)。
索尼娅:把正确的结构建立在错误的第一步上
索尼娅是露丝的同学之一,她是一个很好的读者,也是一个很好的算术家。她在幼儿园结束时的心算能力会让一年级的老师感到高兴。她是一个顽强的解谜者,能够在头脑中掌握一套相当复杂的谜题约束条件。她习惯于快速得到正确答案;但当她确实犯了错误时,她(像大多数孩子一样)还没有足够的自我反思能力来注意和纠正错误。
桑娅的数学书中有一个活动要求她选择一个起始数字,掷骰子,将这个数字与她选择的数字相加,并写下结果。在下一行中,她将从该结果开始,再次滚动和添加,并写入新的结果。等等......对索尼娅来说,这是一种熟悉的活动;她选择24开始。她掷骰子。她喜欢得到最大的数字,所以她把骰子摇到6。她从24数到30。但是,就像孩子们一样(即使是8、9岁的孩子,即使是成年人,如果任务足够繁重的话),她会被脑子里牢记的起点分散注意力——她写了34而不是30。
索尼娅已经知道,如果她重复一项让她从24岁到34岁的加法,它会让她从34岁到44岁,然后是54岁,然后是64岁。她一整年都在展示自己的数学能力,她清楚地知道(并且说)从34到44必须加10,而不是6。她还表现出了对10的熟练,以及对4 + 6等于10的熟练。在这个例子中,她正确地数到了30,但注意到她把34写错了,那就是另一回事了。用她的知识去接球需要一种自我反思的缓慢,这在幼儿园的孩子中是罕见的。所以,当她第二次掷骰子并再次将点数改为6时,她只是继续自己的模式而不需要思考。
她活动表上的最后一行显示了她开始时的那种滑倒(超级常见!)索尼娅本想写64,但被开头的数字54分散了注意力,于是改写了54。这一次,她确实自发地纠正了自己的失误。
那么,她的老师应该指出其他错误吗?这里既有非数学问题也有数学问题需要考虑。
;;用注意事项索尼娅把这一页填错了,每一行都填错了。孩子们应该知道,只是在纸上写东西不是目标。如果试卷会被家长或其他人看到,不应该让人觉得孩子粗心大意,老师甚至都没有注意到。纠正可以不费吹灰之力。索尼娅甚至可能喜欢看到“哎呀”,为了展示一篇完美的论文而修补一切。看到她所写的不是她所知道的可能会帮助她变得更加小心。这样的自我监督在这个年龄是很少见的。它是可以学习的吗这孩子这时间,还是在更成熟之前进行干预只是浪费和分散注意力?
;;数学方面的考虑这个错误是在索尼娅生长的边缘上吗?是的。此外,她目前的研究重点是结构。索尼娅的错误揭示了她的什么想法?这表明她善于思考数学问题;她没有继续前进,而是注意到了她的第一个结果。她没有注意到这是错误的,但她注意到增加了10,并应用了这个结构。她早期的许多课程和活动表明,这个错误只是一个失误,而不是数学上的误解。索尼娅从纠正这个错误中学不到任何数学知识。
我们可以选择关注哪里,是否纠正,何时纠正。
那么,索尼娅应该被纠正吗?这就是老师的判断很重要的地方。没有普遍的答案。令人高兴的是,不需要一个笼统的答案。我们老师教特定的孩子,而不是一般的孩子——特定的孩子有特定的优势,与老师有特定的关系。在所有的人际交往中,我们都会进行猜测——但这是一个有根据的猜测。我们看着。如果桑娅的老师没有达到目标,她可能会再次尝试使用不同的策略。或者我们等待。不是每件事都需要纠正; and not everything that does need to be corrected needs to be corrected immediately. (For two stories about how what appear to be errors can indicate deep understanding, see Goldenberg 2017.)
注重结构而不是准确性
不,不是与!这就是重点。我们可以选择关注哪里,是否纠正,何时纠正。事实上,除了数学之外,许多幼儿教师对这一点非常熟悉——例如,教幼儿写字。起初,字母颠倒,看似随机的大写,以及标点符号的缺乏并不是一个大问题;掌握用字母表示单词的概念是主要目标。发明拼写证明,孩子们已经超越了学龄前的随机字母喷雾,他们已经掌握了用来写单词的字母应该与单词的发音有关。选择强调什么和什么时候强调是教学的重要组成部分。
在数学方面,老师们似乎更不愿意做出这样的选择。也许这是因为太多人(包括老师、行政人员和家长)相信最终的书面答案是衡量数学学习的标准——毕竟,即使你的思维是完美的,如果你在结尾写错了数字,桥也会倒塌。也可能是因为,与写作不同,我们在数学中往往看不到故事,而只是一个最终数字;所以,如果它是错的,那它就是错的。但索尼娅和露丝的工作表明,即使是一个数字有时也能讲述一个故事。
结论
准确性很重要,但并不总是如此。我们老师怎么知道当纠正还是集中在哪里?我们不会总是做出完美的选择——甚至可能没有没有风险的选择。只要是老师思考要不要纠正,纠正后要传达什么,只要他们是决定要做什么,不要简单地对所写的内容做出反应,只要他们在考虑特定的孩子们,他们增加了做出良好教学决定的机会。
桑娅的老师选择不纠正她。在那例如,支持索尼娅使用一种模式的倾向似乎比把她的注意力吸引到不正确的结果上更有利于索尼娅的数学发展。我们不可能确切地知道,指出过失是否会有更好的结果。幸运的是,随着时间的推移,孩子和环境会提供正确的反馈。像索尼娅一样,她会有其他机会更准确地补充,我们老师也会有其他机会来决定什么是最好的回答。只要老师受到深思熟虑的回答的指导,他们就能建立关于每个孩子学习的模型,这比任何通用的“做与不做”清单都能更好地指导互动。
作者注:本文报道的工作部分由美国国家科学基金会(奖励编号1119163和1348564)和hesing - simons基金会(奖励编号2015-023)资助。本文仅代表作者个人观点,并不代表基金会的观点。
更多关于感兴趣的老师
汉森,A.主编,2014年。儿童的数学错误.英国埃克塞特:学习很重要。
瑞安,J.和J.威廉姆斯,2007。儿童数学,4-15:从错误和误解中学习.
参考文献
戈登伯格,e.p., N.施泰因戈尔德,N.弗尔泽格。2003。"思维的数学习惯"《通过问题解决的数学教学:幼儿园前六年级》,F.K.莱斯特主编。莱斯顿,弗吉尼亚州:全国数学教师委员会。
戈登伯格,2017年。《正确答案/错误问题:数学课上的心理理论》EDC学习与教学博客,1月6日。http://ltd.edc.org/wrong-answers-or-wrong-questions.
汉森,A.主编,2014年。儿童的数学错误.英国埃克塞特:学习很重要。
NGA(全国州长协会)最佳实践中心和CCSSO(州首席学校官理事会),2010年。“寻找并利用结构。”(CCSS.Math.Practice.MP7。)国家数学共同核心标准。华盛顿特区:NGA和CCSSO。www.corestandards.org/Math/Practice/ CCSS.Math.Practice.MP7.
瑞安,J.和J.威廉姆斯,2007。孩子们的数学4-15:从错误和误解中学习.伯克郡,英国:开放大学出版社。
图片:2,4,作者提供;1,3,5,©iStock
保罗·戈登伯格(E. Paul Goldenberg)从小学早期一直教到研究生院,现在在马萨诸塞州沃尔瑟姆的教育发展中心(EDC)开发数学课程。他特别喜欢建立数学联系,培养学生的问题和问题提出,从而产生深度、惊喜和新想法。(电子邮件保护)
莎伦·j·米勒(Sharon J. Miller)在马萨诸塞州戴德姆的拉什学校(The Rashi School)教了18年幼儿园,与幼儿打交道已经有30年了。她喜欢通过探索和使用熟悉的新材料来帮助学生认识和追求数学感。(电子邮件保护)
Cynthia J. Carter在Rashi学校教六年级、七年级和八年级的数学。她特别喜欢帮助学生像数学家一样思考,建立系统,提出问题——以及解决问题。(电子邮件保护)
克里斯汀·e·里德,EDC项目总监,曾担任教师、课程开发人员、专业发展促进者和研究员。要了解更多让数学变得有趣、有挑战性和有趣的方法,请访问ym.edc.org.(电子邮件保护)