亚历克斯在自由选择时间玩木块。乍一看,韦伯认为亚历克斯的建筑是另一座塔或建筑,这在他的幼儿园教室里并不少见。但经过进一步观察,韦伯注意到亚历克斯对对称的细心关注,这表明她有组合和分解3d形状的能力。
韦伯先生想要捕捉亚历克斯的数学思维,与他的同事分享。他们很快将开始计划一个使用学习轨迹的几何单元,他认为亚历克斯精心设计的建筑将是小组讨论的一个很好的例子。他迅速拿起平板电脑,拍下了这座建筑的照片,同时让亚历克斯告诉他一些有关它的情况。亚历克斯告诉韦伯先生,“我用了矩形块,我把它们放在这里和这里。我在这里和这里画了三角形来建造城堡的塔。”
韦布带着这张照片,以及其他孩子们玩积木游戏的照片,去参加团队规划会议。他用这些照片来展示孩子们的一些背景知识和目前与组合和分解形状相关的经验。老师们观察三维形状构图的学习轨迹,然后他们一起计算出这些照片是如何跨越学习进程的。
基于他们的新理解,老师们选择的活动将继续通过积木和其他材料的经验来推进孩子们对几何的学习。
从观察中收集证据,然后用它来规划教学是一项具有挑战性的工作,尤其是在学龄前和小学早期。孩子们经常展示他们的数学思维,他们使用的材料在学习过程中被移动,在数学活动结束时被收起来,让他们的数学思维没有记录。教师经常使用观察工具或检查表来记录儿童思维的证据(Fennell, Kobett, & Wray 2017)。使用这些类型的工具需要教师熟练地关注和理解孩子的工作和谈话,通常是在充满幼儿的教室里的嗡嗡声中(Jacobs et al. 2011)。
简化教师关注和解读儿童思维工作的一种方法是给教师更多的时间来分析证据。用照片捕捉孩子们的思维可以让老师在以后有时间反思时检查孩子们的作业什么孩子们知道如何孩子们能理解。此外,照片可以成为形成性评估周期的有效起点学习评估(william 2017),这可以通过学习进展来了解(Ebby & Petit 2018)。
照片可以帮助教师了解孩子们在课堂之外的数学思维,更有目的性地规划未来的教学。
这篇文章描述了两种工具——照片和学习轨迹——如何被用来捕捉孩子的数学思维,并在形成性评估过程中做出教学决策。为了说明这一点,我们以前职教师洛佩兹女士为例,她在幼儿园数学站使用这些工具记录和理解儿童的加法推理。
用照片捕捉孩子们的数学思维
记录孩子的理解是形成性评估的一个关键因素,当涉及到数学思维时,使用照片有很多好处。照片可以为教师和家庭提供儿童数学发展随时间变化的视觉证据(Krechevsky et al. 2013)。在学前班和小学教室里,孩子们的数学作业并不总是以书面形式表达;照片用积木、计数器、游戏和其他材料捕捉孩子们的数学活动(Tapper 2012)。此外,照片为教师提供了儿童理解的证据,可以在以后远离教室的喧嚣时进行分析(Sherin & van Es 2003)。照片的使用使教师能够在课堂之外了解孩子们的数学思维,并更有目的性地规划未来的数学教学。
通过学习轨迹了解孩子的进步
学习轨迹(Clements & Sarama 2014)或学习进程(Ebby & Petit 2018)的创建是为了综合和反映关于儿童如何学习和理解数学的研究和知识。学习进度为教师提供了一个解释儿童数学思维的框架,可以在计划教学时使用,以推动儿童的理解(Ebby & Petit 2018)。例如,持续评估项目(OGAP)加法框架显示了儿童在计算和解决加法问题时可能使用的策略(OGAP Math LLC 2017)。它还提供了学生作业的插图,当孩子们解决加法问题时,教师可以期望看到,从计数策略开始,到更复杂和可推广的策略。了解孩子们在工作时的想法,可以帮助教师(1)通过预测孩子们对问题或任务的策略和反应来制定计划;(2)准备仔细观察孩子,使他们的数学思维和策略更容易在瞬间识别和捕捉;(3)口译幼儿作业;(4)设计教学,建立在孩子们目前的理解和推进他们的数学思维。
洛佩兹女士的数学站
职前教师洛佩兹女士正在上第一作者教授的基础数学方法课程。教学方法课程的一项作业是创建一个数学站(Diller 2011),用作形成性评估工具。该作业要求职前教师让孩子们参与数学站,拍摄孩子们在数学站的数学思维证据,分析照片,并在这些分析的基础上考虑潜在的下一步教学步骤。洛佩兹决定在她的实地实习中完成这项任务,她在一个幼儿园的教室里观察老师和孩子们。
洛佩兹女士知道孩子们一直在学习从0数到20,所以她创建了自己的数学站,通过实现两个教学目标来扩展孩子们的数学经验:(1)识别0和20之间的数字,然后构建出比原来的数字大1和小1的数字;(2)练习书写0到20之间的数字,代表一组物体。在数学台上,孩子们每人从一副数字卡片中选择一个数字,然后用苹果形状的橡皮擦写出具体的数字。然后,孩子们确定哪些数字是多一,哪些数字是少一,并用橡皮擦表示这些数值。最后,孩子们把数字写在一张记录纸上。
在让孩子们在数学站学习之前,洛佩兹女士花时间研究了OGAP加法框架,以熟悉孩子们可能表示和计算选定数量的方式。回顾框架帮助她确定,她的形成性评估(和照片)的关键目标是注意和记录孩子们是如何计数的。具体来说,她想知道孩子们是否以及如何组织或分组具体的物体。洛佩兹女士认为,拍摄孩子们在数学站活动的这一方面是合适的,因为一旦孩子们离开数学站,具体的物体就会被放在一边,他们思考的证据将不再为她的教学计划提供信息。
当所有的孩子完成数学站活动后,洛佩兹女士查看了她在活动中拍摄的照片,并选择了几张用于课程作业。在这里,我们研究了洛佩兹女士选择的两张照片,并讨论了每张照片如何加深了她对孩子们数学思维的理解。
学习进度反映了关于儿童如何学习和理解的研究和知识。
洛佩兹女士这样描述上面的照片:“(这张照片)准确地展示了两个孩子如何使用不同的策略来解决他们的数字卡。”她仔细检查了这张照片,这张照片是在活动中拍摄的,她注意到罗莎(左边的学生)已经开始把苹果排成一排,每排四个,而吉莉安(右边的学生)则是一排一排地数苹果,并把它们都放在一组。根据洛佩兹女士的说法,罗莎的组织策略是基于她之前的知识:“罗莎喜欢把她的计数器分成四个一组,因为她对自己以四为单位计数的能力有信心。罗莎说,她的计数策略让她想起了数硬币。她知道4个25美分等于1美元,这就是她想要的计算方法。”
罗莎用她的组织策略来帮助吉莉安。“罗莎向吉莉安解释了如何把计数器分成五个一组,让她更容易计数,”洛佩兹回忆说。从她的观察中,洛佩兹还发现了其他一些东西:“吉莉安对自己数五组的能力很有信心,这让她更容易分辨出多一个或少一个。”
洛佩兹女士描述的第二张照片(上图)考虑了跳过计数的策略,但强调了学生的一个误解。她写道,
我选择了这张照片,因为这张照片表明香农正试图找出一种方法来放置她的计数器,这样她就可以更容易地计数。香农试着以二为数,她以一种意想不到的方式数数。她不是在数2、4、6、8等等;相反,香农说2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10。香农努力记着自己加了几次2加2加2。
洛佩兹对照片的分析表明,她有能力处理照片中的数学问题。她的分析还强调了用照片捕捉孩子们思维的力量——包括正在进行的活动的照片,这些活动展示了孩子们正在发生的思维,而不是“成品”——并为以后的深入分析留出了时间。通过她的照片,洛佩兹能够具体描述孩子们使用的策略,无论是按四或五分组,还是按一计数,她还能够认识到香农在尝试加二时遇到的挑战。她还能够描述和解释孩子们的策略。她承认,罗莎有一个有效的计数策略,而吉莉安没有,而且罗莎的策略是说明性的,使孩子们能够共同努力,推进吉莉安的计数策略。洛佩兹女士用照片来捕捉和解释孩子们的数学思维和行为,这为她提供了形成性评估数据,她可以用这些数据来规划学生的进一步学习。
在洛佩兹女士理解了她在整个活动中拍摄的所有照片中可以看到的孩子们的想法后,她使用OGAP加法框架作为一种识别和描述孩子们理解的方式,基于框架中的图像的学习进展。例如,Lopez女士说,“Rosa的策略属于OGAP框架的灵活计数部分,因为有证据表明她以2、4和5来计数,以及识别多一个和少一个。”
当时,当罗莎忙于数学课时,洛佩兹女士在课堂上有很多责任。她几乎不可能花时间或给予必要的注意力来分析罗莎的工作,并确定它在学习过程中的位置。当她有更多的时间时,拍摄照片使她能够彻底而准确地分析罗莎的策略。
照片也使我们有可能在课堂之外与同事进行有意义的合作。
洛佩兹女士还使用了OGAP附加框架来确定她的下一个教学步骤。例如,她首先描述了香农的2 + 2 + 2 + 2 + 2的计数策略,这证明了香农的工作可以被认为是早期的计数策略。她接着提出了以下指导步骤:
香农需要额外的帮助来构建数字的意义,更好地理解数字。香农将受益于与老师一对一的工作,以建立她的流畅的计算。一旦香农能够直观地看到她的计数器,她就能够在她的搭档的帮助下,多识别一个,少识别一个。
利用OGAP加法推理框架(OGAP Additive Framework)来识别香农在加法推理发展过程中的工作,洛佩兹女士能够建议教学的下一步是“与老师一对一合作,以建立她的计数流利性”。虽然这不是一个复杂的教学建议,但对于一个职前教师来说,这是一个经过深思熟虑的开始步骤,这一步是有机会检查孩子在此刻之外的想法。
照片的另一个好处是,它们可以在课堂外与同事进行有意义的合作。洛佩斯的教学方法教授让她思考如何才能更好地将香农研究中的证据与更有效的教学回应联系起来。他们一起使用照片和OGAP附加框架来为下一步的教学步骤构建一个替代计划。在接下来的步骤中,他们利用香农将跳过计数作为一种策略的愿望,并为她提供了具体的模型来探索和练习跳过计数。
在这种情况下,需要考虑的重要观点是,规划和收集照片证据,加上学习进展的使用,使洛佩兹女士能够识别儿童的数学思维,理解它,沿着发展轨迹标记它,并考虑教学的下一步,所有这些都是形成性评估周期的关键要素。
行动呼吁
这个案例说明了教师如何使用照片和学习轨迹作为工具来支持形成性评估实践和有意的教学。这些照片提供了一种捕捉儿童数学思维证据的方法,否则这些数学思维就会在数学活动之后消失。在OGAP加性框架中,各种加性策略的视觉结构为教师提供了一个镜头,通过它可以注意和识别重要的数学思维,并将其捕捉到照片中。对学习进展的照片进行分析,进一步支持教师解释孩子们正在做的思考,并确定如何在未来的教学中建立他们的思维。通过这种方式,照片作为形成性评估周期的工具。
通过她的照片,洛佩兹女士能够描述孩子们使用的策略,并认识到他们所经历的挑战。
我们邀请教师在他们的教室里计划拍照的机会,并尝试在学习过程中使用照片作为一种捕捉和理解形成性评估数据的方式,这些数据通常在清理时间消失。和洛佩兹女士一样,我们鼓励老师们选择几张照片进行更详细的研究。以下问题可用于指导本次调查:
- 你的照片中有什么数学思维的证据?
- 孩子在学习过程中使用的策略是否可以识别?
- 在明天的教学中,我希望鼓励或建立在哪些策略上?
更多关于学习轨迹
为了加深你对学习轨迹的理解,找到样本活动、游戏和其他有用的课堂工具,看看这些免费的在线资源:
- 持续评估项目(OGAP),资源和相关出版物-https://ogapmathllc.com/resources-and-related-publications/#151-ogap-frameworks
- “形成性评估工具提高早期数学学习”-https://stemforall2018.videohall.com/presentations/1186
- 学习轨迹与教学[LT]2 -www.learningtrajectories.org
参考文献
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摄影:1©Vera Wiest;2,3,4由作者提供